sexta-feira, 20 de dezembro de 2013
quarta-feira, 18 de dezembro de 2013
Angulo entre Duas Retas
Considere duas retas distintas e concorrentes do plano, r e s, ambas oblíquas aos eixos coordenados e não perpendiculares entre si. As duas retas formam um ângulo entre si, que denominaremos de α. Esse ângulo α é tal que:
Onde ms e mr são os coeficientes angulares das retas s e r, respectivamente.
Se ocorrer de uma das retas ser vertical e a outra oblíqua, o ângulo α formado entre elas é tal que:
Se ocorrer de uma das retas ser vertical e a outra oblíqua, o ângulo α formado entre elas é tal que:
Exemplo 1. Determine o ângulo formado entre as retas r: x - y = 0 e s: 3x + 4y – 12 =0
Solução: Para determinar o ângulo formado entre as duas retas, precisamos conhecer o coeficiente angular de cada uma delas. Assim, vamos determinar o coeficiente angular das retas r e s.
Para a reta r, temos:
x - y = 0
y = x
Portanto, mr = 1.
Para a reta s, temos:
Solução: Para determinar o ângulo formado entre as duas retas, precisamos conhecer o coeficiente angular de cada uma delas. Assim, vamos determinar o coeficiente angular das retas r e s.
Para a reta r, temos:
x - y = 0
y = x
Portanto, mr = 1.
Para a reta s, temos:
Portanto, ms = -3/4
Conhecendo os valores dos coeficientes angulares, basta aplicar a fórmula do ângulo entre duas retas:
Exemplo 2. Determine o ângulo formado entre as retas r: y = 3x + 4 e s: y = – 2x + 8.
Solução: Vamos determinar o coeficiente angular de cada uma das retas dadas.
Para a reta r, temos:
y = 3x + 4
mr = 3
Para a reta s, temos:
y = – 2x + 8
ms = – 2
Aplicando a fórmula do ângulo entre duas retas, obtemos:
Solução: Vamos determinar o coeficiente angular de cada uma das retas dadas.
Para a reta r, temos:
y = 3x + 4
mr = 3
Para a reta s, temos:
y = – 2x + 8
ms = – 2
Aplicando a fórmula do ângulo entre duas retas, obtemos:
Creditos: Marcelo Rigonatto
Distancia entre Pontos na Reta
A Geometria Analítica objetiva seus estudos através da conciliação entre a Álgebra e a Geometria. Dessa forma, algumas situações podem ser analisadas metodicamente, através da interpretação geométrica e das relações algébricas.
Uma dessas importantes relações da Geometria Analítica é a distância entre um ponto e uma reta no plano cartesiano.
A distância entre um ponto e uma reta é calculada unindo o próprio ponto à reta através de um segmento, que deverá formar com a reta um ângulo reto (90º). Para estabelecer a distância entre os dois necessitamos da equação geral da reta e da coordenada do ponto. A figura a seguir estabelece a condição gráfica da distância entre o ponto P e a reta r, sendo o segmento PQ a distância entre eles.
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Uma dessas importantes relações da Geometria Analítica é a distância entre um ponto e uma reta no plano cartesiano.
A distância entre um ponto e uma reta é calculada unindo o próprio ponto à reta através de um segmento, que deverá formar com a reta um ângulo reto (90º). Para estabelecer a distância entre os dois necessitamos da equação geral da reta e da coordenada do ponto. A figura a seguir estabelece a condição gráfica da distância entre o ponto P e a reta r, sendo o segmento PQ a distância entre eles.
Estabelecendo a equação geral da reta s: ax0 + by0 + c = 0 e a coordenada do ponto P(x0,y0), conseguimos chegar à expressão capaz de calcular a distância entre o ponto P e a reta s:
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Essa expressão surge de uma generalização feita, podendo ser utilizada nas situações em que envolve o cálculo da distância entre um ponto qualquer e uma reta.
Exemplo
Dado o ponto A(3, -6) e r: 4x + 6y + 2 = 0. Estabeleça a distância entre A e r utilizando a expressão dada anteriormente.
Temos que:
x: 3
y: -6
a: 4
b: 6
c: 2
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Exemplo
Dado o ponto A(3, -6) e r: 4x + 6y + 2 = 0. Estabeleça a distância entre A e r utilizando a expressão dada anteriormente.
Temos que:
x: 3
y: -6
a: 4
b: 6
c: 2
Creditos: Marcos Noé
Equação da Reta
Equação fundamental da reta
Podemos representar uma reta r do plano cartesiano por meio de uma equação. Essa equação pode ser obtida a partir de um ponto A(xA, yA) e do coeficiente angular m dessa reta.
Considere uma reta r não-vertical, de coeficiente angular m, que passa pelo ponto A(xA, yA). Vamos obter a equação dessa reta, tomando um ponto P(x, y) tal que P ≠ A.
A equação fundamenta da reta é:
Equação geral da reta
Toda reta r do plano cartesiano pode ser expressa por uma equação do tipo:
Em que:
• a, b, e c são números reais;
• a e b não são simultaneamente nulos.
• a, b, e c são números reais;
• a e b não são simultaneamente nulos.
Para isso, usa-se a condição de alinhamento de A e B com um ponto genérico P(x,y) de r.
Equação reduzida da reta
Vamos determinar a equação da reta r que passa por Q(0,q), e tem coeficiente angular m = tg(α):
 |  |
Toda equação na forma y = mx + q é chamada equação reduzida da reta, em que m é o coeficiente angular e q a ordenada do ponto n qual a reta cruza o eixo Oy. A equação reduzida pode ser obtida diretamente da equação geral ax + by + c = 0:
Onde:
Equação segmentária da reta
Considere uma reta r que cruza os eixos cartesianos nos pontos (0, q) e (p, 0).
Vamos escrever a equação da reta r:
Dividindo essa equação por pq, obtemos a equação segmentária da reta:
Coeficiente Angular da Reta
Sabemos que o valor do coeficiente angular de uma reta é a tangente do seu ângulo de inclinação. Através dessa informação podemos encontrar uma forma prática para obter o valor do coeficiente angular de uma reta sem precisar fazer uso do cálculo da tangente.
Vale ressaltar que se a reta for perpendicular ao eixo das abscissas, o coeficiente angular não existirá, pois não é possível determinar a tangente do ângulo de 90º.
Para representarmos uma reta não vertical em um plano cartesiano é preciso ter no mínimo dois pontos pertencentes a ela. Desse modo, considere uma reta s que passa pelos pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) e possui um ângulo de inclinação com o eixo Ox igual a α.
Prolongado a semirreta que passa pelo ponto A e é paralela ao eixo Ox formaremos um triângulo retângulo no ponto C.
Vale ressaltar que se a reta for perpendicular ao eixo das abscissas, o coeficiente angular não existirá, pois não é possível determinar a tangente do ângulo de 90º.
Para representarmos uma reta não vertical em um plano cartesiano é preciso ter no mínimo dois pontos pertencentes a ela. Desse modo, considere uma reta s que passa pelos pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) e possui um ângulo de inclinação com o eixo Ox igual a α.
Prolongado a semirreta que passa pelo ponto A e é paralela ao eixo Ox formaremos um triângulo retângulo no ponto C.
O ângulo A do triângulo BCA será igual ao da inclinação da reta, pois, pelo Teorema de Tales, duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam ângulos correspondentes iguais.
Levando em consideração o triângulo BCA e que o coeficiente angular é igual à tangente do ângulo de inclinação, teremos:
tgα = cateto oposto / cateto adjacente
tgα = yB – yA / xB – xA
Portanto, o cálculo do coeficiente angular de uma reta pode ser feito pela razão da diferença entre dois pontos pertencentes a ela.
m = tgα = Δy / Δx
Exemplo 1
Qual é o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A (–1,3) e B (–2,4)?
m = Δy/Δx
m = 4 - 3 / (-2) - (-1)
m = 1 / -1
m = -1
Exemplo 2
O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A (2,6) e B (4,14) é:
m = Δy/Δx
m = 14 – 6/4 – 2
m = 8/2
m = 4
Exemplo 3
O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A (8,1) e B (9,6) é:
m = Δy/Δx
m = 6 – 1/9 – 8
m = 5/1
m = 5
Creditos: Marcos Noé
tgα = yB – yA / xB – xA
Portanto, o cálculo do coeficiente angular de uma reta pode ser feito pela razão da diferença entre dois pontos pertencentes a ela.
m = tgα = Δy / Δx
Exemplo 1
Qual é o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A (–1,3) e B (–2,4)?
m = Δy/Δx
m = 4 - 3 / (-2) - (-1)
m = 1 / -1
m = -1
Exemplo 2
O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A (2,6) e B (4,14) é:
m = Δy/Δx
m = 14 – 6/4 – 2
m = 8/2
m = 4
Exemplo 3
O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A (8,1) e B (9,6) é:
m = Δy/Δx
m = 6 – 1/9 – 8
m = 5/1
m = 5
Creditos: Marcos Noé
Alinhamento de três pontos
Com três pontos distintos e não alinhados formamos um plano, para que com eles seja formada uma reta é preciso que eles estejam alinhados.
Considere os pontos A(1,2), B(3,0), C(4,-1). Colocando-os em um plano cartesiano percebemos que a união irá formar uma reta, ou seja, eles estão alinhados.
Unir os três pontos distintos em um plano cartesiano é uma opção para verificar seu alinhamento, mas isso nem sempre apresenta uma resposta segura, pois um dos três pontos pode estar milímetros fora da reta formada, o que deixa os três pontos não alinhados.
Considere três pontos distintos do plano cartesiano A(xa, ya), B(xb, yb) e C(xc, yc). Esses pontos estão alinhados se o determinante de suas coordenadas for igual a zero. Ou seja:
Exemplo 1. Verifique se os pontos A(5, 5), B(1, 3) e C(0, 5) estão alinhados.
Solução: devemos fazer o cálculo do determinante das coordenadas dos pontos A, B e C e verificar se o resultado é igual a zero.
Como o determinante das coordenadas dos pontos resultou em um valor diferente de zero, podemos concluir que os pontos A, B e C não estão alinhados.
Exemplo 2. Determine o valor de c para que os pontos A(4, 2), B(2, 3) e C(0, c) estejam alinhados.
Solução: para que os pontos A, B e C estejam alinhados, o determinante de suas coordenadas deve ser igual a zero. Assim, temos que:
Fazendo o cálculo do determinante obtemos:
12 + 0 + 2c – 4 – 4c – 0 = 0
ou
8 – 2c = 0
2c = 8
c = 4.
Exemplo 3. Para quais valores reais de k os pontos (6, k), (3, 4) e (2 – k, 2) são colineares?
Solução: dizer que os pontos são colineares é o mesmo que dizer que eles estão alinhados. Dessa forma, devemos fazer o cálculo do determinante e igualá-lo a zero.
Desenvolvendo o determinante, obtemos:
– k2 + 3k + 10 = 0
ou
k2 – 3k – 10 = 0
Resolvendo a equação acima, obtemos:
k = 5 ou k = – 2
Considere os pontos A(1,2), B(3,0), C(4,-1). Colocando-os em um plano cartesiano percebemos que a união irá formar uma reta, ou seja, eles estão alinhados.
Unir os três pontos distintos em um plano cartesiano é uma opção para verificar seu alinhamento, mas isso nem sempre apresenta uma resposta segura, pois um dos três pontos pode estar milímetros fora da reta formada, o que deixa os três pontos não alinhados.
Considere três pontos distintos do plano cartesiano A(xa, ya), B(xb, yb) e C(xc, yc). Esses pontos estão alinhados se o determinante de suas coordenadas for igual a zero. Ou seja:
Exemplo 1. Verifique se os pontos A(5, 5), B(1, 3) e C(0, 5) estão alinhados.
Solução: devemos fazer o cálculo do determinante das coordenadas dos pontos A, B e C e verificar se o resultado é igual a zero.
Como o determinante das coordenadas dos pontos resultou em um valor diferente de zero, podemos concluir que os pontos A, B e C não estão alinhados.
Exemplo 2. Determine o valor de c para que os pontos A(4, 2), B(2, 3) e C(0, c) estejam alinhados.
Solução: para que os pontos A, B e C estejam alinhados, o determinante de suas coordenadas deve ser igual a zero. Assim, temos que:
Fazendo o cálculo do determinante obtemos:
12 + 0 + 2c – 4 – 4c – 0 = 0
ou
8 – 2c = 0
2c = 8
c = 4.
Exemplo 3. Para quais valores reais de k os pontos (6, k), (3, 4) e (2 – k, 2) são colineares?
Solução: dizer que os pontos são colineares é o mesmo que dizer que eles estão alinhados. Dessa forma, devemos fazer o cálculo do determinante e igualá-lo a zero.
Desenvolvendo o determinante, obtemos:
– k2 + 3k + 10 = 0
ou
k2 – 3k – 10 = 0
Resolvendo a equação acima, obtemos:
k = 5 ou k = – 2
Ponto Médio
Segmento de reta é limitado por dois pontos de uma reta. Por
exemplo, considere a reta r e dois pontos A e B que pertencem a essa reta.
A distância dos pontos A e B é o segmento da reta r.
Por ser um “pedaço” de uma reta podemos medir o seu comprimento (distância entre dois pontos de uma reta), assim possuindo seu ponto médio (ponto que separa o segmento ao meio).
A distância dos pontos A e B é o segmento da reta r.
Por ser um “pedaço” de uma reta podemos medir o seu comprimento (distância entre dois pontos de uma reta), assim possuindo seu ponto médio (ponto que separa o segmento ao meio).
O segmento de reta possui inúmeros pontos alinhados, mas
somente um deles irá dividir o segmento em duas partes iguais.
O segmento de reta AB terá um ponto médio (M) com as
seguintes coordenadas (xM, yM). Observe que os triângulos AMN e ABP são
semelhantes, possuindo os três ângulos respectivamente iguais. Dessa forma,
podemos aplicar a seguinte relação entre os segmentos que formam os triângulos.
Veja:
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considerando M o ponto médio do segmento AB, temos a
seguinte expressão matemática capaz de determinar a coordenada do ponto médio
de qualquer segmento no plano cartesiano:
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Percebemos que o cálculo da abscissa xM é a média aritmética
entre as abscissas dos pontos A e B. Assim, o cálculo da ordenada yM é a média
aritmética entre as ordenadas dos pontos A e B.
Exemplo 1
Dadas as coordenadas dos pontos A(4,6) e B(8,10) pertencentes ao segmento AB, determine as coordenadas do ponto médio desse segmento.
xA = 4
yA = 6
xB = 8
yB = 10
xM = (xA + xB) / 2
xM = (4 + 8) / 2
xM = 12/2
xM = 6
yM = (yA + yB) / 2
yM = (6 + 10) / 2
yM = 16 / 2
yM = 8
As coordenadas do ponto médio do segmento AB é xM (6, 8).
Dadas as coordenadas dos pontos A(4,6) e B(8,10) pertencentes ao segmento AB, determine as coordenadas do ponto médio desse segmento.
xA = 4
yA = 6
xB = 8
yB = 10
xM = (xA + xB) / 2
xM = (4 + 8) / 2
xM = 12/2
xM = 6
yM = (yA + yB) / 2
yM = (6 + 10) / 2
yM = 16 / 2
yM = 8
As coordenadas do ponto médio do segmento AB é xM (6, 8).
Exemplo 2
Dados os pontos P(5,1) e Q(–2,–9), determine as coordenadas do ponto médio do segmento PQ.
xM = [5 + (–2)] / 2
xM = (5 – 2) / 2
xM = 3/2
yM = [1 + (–9)] / 2
yM = (1 – 9) / 2
yM = –8/2
yM = –4
Portanto, M(3/2, –4) é o ponto médio do segmento PQ.
Dados os pontos P(5,1) e Q(–2,–9), determine as coordenadas do ponto médio do segmento PQ.
xM = [5 + (–2)] / 2
xM = (5 – 2) / 2
xM = 3/2
yM = [1 + (–9)] / 2
yM = (1 – 9) / 2
yM = –8/2
yM = –4
Portanto, M(3/2, –4) é o ponto médio do segmento PQ.
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