Aula Estatistica - Terceirão

Geometria Analítica

A geometria analítica foi um estudo realizado pelo matemático René Descartes que aliou os conhecimentos da álgebra ao estudo das figuras geométricas. No entanto, antigamente a geometria analítica era conhecida como Geometria de coordenadas e geometria cartesiana, pois com a aplicação da álgebra na geometria é possível fazer qualquer representação geométrica por meio de pares ordenados, equações e inequações. 

SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL

Se duas retas se cruzam e formam um ângulo de 90º elas são perpendiculares. A perpendicularidade dessas duas retas forma um sistema cartesiano ortogonal. 

As duas retas são chamadas de eixos: 
Eixo das abscissas: reta x. 
Eixo das coordenadas: reta y. 

Onde as retas x e y se encontram é formado um ponto, que é chamado de ponto de origem. 



O sistema cartesiano ortogonal é dividido em quatro partes e cada uma é um quadrante. 



Um ponto no sistema cartesiano ortogonal é formado por dois pontos, um do eixo das abscissas e outro do eixo das ordenadas. 
O ponto no sistema cartesiano ortogonal é chamado de par ordenado. 



O ponto X possui um número x que é a abscissa do ponto P. 
O ponto Y possui um número y que é a ordenada do ponto P. 
(x, y) é chamado de par ordenado do ponto P. 

Portanto, para determinarmos um ponto P no sistema cartesiano ortogonal é preciso que as abscissas e as ordenadas sejam dadas. 

Veja o sistema cartesiano ortogonal abaixo e os pontos que estão indicados. 



O ponto A (1, 1) encontra-se no 1° quadrante. 
O ponto B (3, 0) encontra-se no eixo das abscissas x. 
O ponto C (5, -4) encontra-se no 4º quadrante. 
O ponto D (-3, -3) encontra-se no 3º quadrante. 
O ponto E (0, 4) encontra-se no eixo das ordenadas 
O ponto F (4, 3) encontra-se no 1º quadrante. 
O ponto G (-2, 3) encontra-se no 2° quadrante.



DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

A distância entre dois pontos é determinada pela Geometria Analítica, responsável por estabelecer relações entre fundamentos geométricos e algébricos. As relações são intituladas com base num sistema de coordenadas cartesianas, que é constituído de dois eixos perpendiculares enumerados.

No plano cartesiano, qualquer ponto possui uma coordenada de localização, basta identificar o ponto e observar os valores primeiramente em relação ao eixo horizontal x (abscissa) e posteriormente em relação ao eixo vertical y (ordenada).

Nesse sistema de coordenadas podemos demarcar dois pontos e determinar a distância entre eles. Observe:

Observe que o triângulo formado é retângulo de catetos AC e BC e hipotenusa AB. Se aplicarmos o Teorema de Pitágoras nesse triângulo determinando a medida da hipotenusa estaremos também calculando a distância entre os pontos A e B. Vamos aplicar as propriedades da relação de Pitágoras no triângulo ABC, originando a expressão matemática responsável pela determinação da distância entre dois pontos em função de suas coordenadas.

O Teorema de Pitágoras diz: “A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”. No triângulo ABC temos que:

Cateto AC = x₂ – x₁
Cateto BC = y₂ – y₁

Exemplo 1

Qual a distância entre os pontos P(3, –3) e Q(–6, 2)?

A distância entre os pontos P e Q é igual a √106 unidades.

COORDENADA DO PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO DE RETA

O segmento de reta possui inúmeros pontos alinhados, mas somente um deles irá dividir o segmento em duas partes iguais. A identificação e a determinação do ponto médio de um segmento de reta será demonstrado com base na ilustração a seguir.

O segmento de reta AB terá um ponto médio (M) com as seguintes coordenadas (xM, yM). Observe que os triângulos AMN e ABP são semelhantes, possuindo os três ângulos respectivamente iguais. Dessa forma, podemos aplicar a seguinte relação entre os segmentos que formam os triângulos. Veja:

Podemos concluir que AB = 2 * (AM), considerando que M é o ponto médio do segmento AB. Temos:

x_P – x_A = 2*(x_M – x_A)
x_B – x_A = 2*(x_M – x_A)
x_B – x_A = 2x_M – 2x_A
2x_M = x_B – x_A + 2x_A
2x_M = x_A + x_B
x_M = (x_A + x_B)/2

Utilizando método análogo, conseguimos demonstrar que y_M = (y_A + y_B )/2.

Portanto, considerando M o ponto médio do segmento AB, temos a seguinte expressão matemática capaz de determinar a coordenada do ponto médio de qualquer segmento no plano cartesiano:

Percebemos que o cálculo da abscissa xM é a média aritmética entre as abscissas dos pontos A e B. Assim, o cálculo da ordenada yM é a média aritmética entre as ordenadas dos pontos A e B. 

CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS.

Com três pontos distintos e não alinhados formamos um plano, para que com eles seja formada uma reta é preciso que eles estejam alinhados. 

Considere os pontos A(1,2), B(3,0), C(4,-1). Colocando-os em um plano cartesiano percebemos que a união irá formar uma reta, ou seja, eles estão alinhados. 



Unir os três pontos distintos em um plano cartesiano é uma opção para verificar seu alinhamento, mas isso nem sempre apresenta uma resposta segura, pois um dos três pontos pode estar milímetros fora da reta formada, o que deixa os três pontos não alinhados. 

Por esse motivo, ao verificar se os três pontos são alinhados, é preciso seguir a seguinte condição: 

Os pontos A, B e C pertencem à reta formada acima e o ponto B é comum aos segmentos AB e BC, nesse caso podemos aplicar a seguinte propriedade: Duas retas paralelas que possuem um ponto em comum são coincidentes. 

Unindo essa propriedade com o cálculo dos coeficientes, iremos concluir que os pontos A, B e C serão paralelos se o coeficientes dos dois segmentos mAB e mBC forem iguais. 

m_AB = 0 – 2 = - 2 = - 1 
            4 – 3       2 

M_BC = -1 – 0 = -1 = - 1 
             4 – 3      1 

Como m_AB = m_BC podemos dizer que os três (A, B e C) pontos estão alinhados. 

Analisando esse exemplo chegamos à seguinte condição de alinhamento de três pontos: 

Dado três pontos distintos A (xA, yB), B (xB,yB) e C (xC, yC), eles serão alinhados se, somente se, os coeficientes mAB e mBC forem iguais.

INCLINAÇÃO DE UMA RETA E O SEU COEFICIENTE ANGULAR

Determinamos uma reta no plano cartesiano conhecendo dois pontos distintos, mas também é possível ser determinada conhecendo apenas um ponto e um ângulo, pois uma reta s intercepta o eixo Ox em um ponto M formando um ângulo α. 

O ângulo α é formado pela reta r e por um ponto do eixo Ox localizado à direita do ponto M. A sua medida irá variar entre 0°≤ α < 180°. 



Esse ângulo é a inclinação da reta e a sua tangente é o valor do seu coeficiente angular. Sendo que só será possível encontrar o seu coeficiente angular quando a reta não for vertical, ou seja, o valor de α deverá ser diferente de zero. 

Exemplo 1: 



Inclinação da reta s igual a 60º. 
Coeficiente angular igual a m = tg 60° = √3. 

Exemplo 2: 



Inclinação da reta s igual a 0°, pois é paralela ao eixo Ox. 
Coeficiente angular igual a m = tg0º = 0. 


Inclinação da reta é igual a 90°. 
Não terá como encontrar o valor do coeficiente angular da reta s quando a inclinação for igual a 90°, pois não é possível encontrar o valor da tangente de 90°.

Créditos : Marcos Noé, Danielle de Miranda.

Variância (V) e Desvio Padrão (DP)

A variância tem o objetivo de analisar o grau de variabilidade de determinadas situações, através dela podemos perceber desempenhos iguais, muito próximos ou muito distantes. A média aritmética pode ser usada para avaliar situações de forma geral, já a variância determina de forma mais específica as possíveis variações, no intuito de não comprometer os resultados da análise. Vamos, através de um exemplo, determinar a eficiência da variância.

Observe as notas de três competidores em uma prova de manobras radicais com skates. 

Competidor A: 7,0 – 5,0 – 3,0

Competidor B: 5,0 – 4,0 – 6,0

Competidor C: 4,0 – 4,0 – 7,0 
Ao calcular a média das notas dos três competidores iremos obter média cinco para todos, impossibilitando a nossa análise sobre a regularidade dos competidores. 
Partindo dessa ideia, precisamos adotar uma medida que apresente a variação dessas notas no intuito de não comprometer a análise.
Observe os cálculos: 

Competidor A 

VA = (7-5)² + (5-5)² + (3-5)² = 4+0+4 = 2,667
                         3                            3                 


Competidor B 

VB = (5-5)² + (4-5)² + (6-5)² = 0+1+1 = 0,667
                           3                          3                 


Competidor C 

VC = (4-5)² + (4-5)² + (7-5)² = 1+1+4 = 2
                           3                          3          

Desvio Padrão

É calculado extraindo a raiz quadrada da variância. 

Competidor A
 
√2,667 = 1,633 

Competidor B
 
√ 0,667 = 0,817 

Competidor C
 
√2 = 1,414 

Tabelas de Frequências

A frequência absoluta, ou apenas frequência, de um valor é o número de vezes que uma determinada variável assume esse valor. Ao conjunto das frequências dos diferentes valores da variável dá-se o nome de distribuição da frequência (ou apenas distribuição).
A frequência relativa, é a percentagem relativa à frequência.
A frequência acumulada de um valor, é o numero de vezes que uma variável assume um valor inferior ou igual a esse valor.
A frequência relativa acumulada, é a percentagem relativa à frequência acumulada.
A tabela de frequências é uma forma de representação da frequência de cada valor distinto da variável. Juntamente com as frequências, esta poderá incluir frequências relativas, frequências acumuladas e frequências relativas acumuladas.
Consideremos a seguinte tabela
 

Nome	Sexo	Nome	Sexo
Manuela	F	Giovane	M
Manuel	M	Pietro	M
Carol	F	Cristal	F
Marilia	F	Sonia	F
Jonas	M	Sueide	F

  

Temos:

          Sexo Masculino:

Frequência absoluta : (a quantidade de homens) = 4
Frequência relativa: ( a quantidade de homens multiplicado pelo total de pessoas) = 4 em 10 = 40%

Sexo Feminino: 

Frequência absoluta : (a quantidade de mulheres) = 6 

Frequência relativa: (a quantidade de mulheres pelo total de pessoas) =  6 em 10 = 60%

 Assim a tabela de frequências da variável Sexo será: 

variável	freq. absoluta (n)	freq. relativa (%)
Sexo
M	4	40%
F	6	60%
Total	10	100%