Geometria Analitica 2 - 3m15

Angulo entre Duas Retas

Considere duas retas distintas e concorrentes do plano, r e s, ambas oblíquas aos eixos coordenados e não perpendiculares entre si. As duas retas formam um ângulo entre si, que denominaremos de α. Esse ângulo α é tal que:

Onde m_s e m_r são os coeficientes angulares das retas s e r, respectivamente. 
Se ocorrer de uma das retas ser vertical e a outra oblíqua, o ângulo α formado entre elas é tal que:

Exemplo 1. Determine o ângulo formado entre as retas r: x - y = 0 e s: 3x + 4y – 12 =0 

Solução: Para determinar o ângulo formado entre as duas retas, precisamos conhecer o coeficiente angular de cada uma delas. Assim, vamos determinar o coeficiente angular das retas r e s. 

Para a reta r, temos: 

x - y = 0 
y = x 

Portanto, m_r = 1. 
Para a reta s, temos:

Portanto, m_s = -3/4 
Conhecendo os valores dos coeficientes angulares, basta aplicar a fórmula do ângulo entre duas retas: 

Exemplo 2. Determine o ângulo formado entre as retas r: y = 3x + 4 e s: y = – 2x + 8. 

Solução: Vamos determinar o coeficiente angular de cada uma das retas dadas. 

Para a reta r, temos: 
y = 3x + 4 
m_r = 3 
Para a reta s, temos: 
y = – 2x + 8 
m_s = – 2 
Aplicando a fórmula do ângulo entre duas retas, obtemos: 

Creditos: Marcelo Rigonatto

Distancia entre Pontos na Reta

A Geometria Analítica objetiva seus estudos através da conciliação entre a Álgebra e a Geometria. Dessa forma, algumas situações podem ser analisadas metodicamente, através da interpretação geométrica e das relações algébricas.
Uma dessas importantes relações da Geometria Analítica é a distância entre um ponto e uma reta no plano cartesiano.

A distância entre um ponto e uma reta é calculada unindo o próprio ponto à reta através de um segmento, que deverá formar com a reta um ângulo reto (90º). Para estabelecer a distância entre os dois necessitamos da equação geral da reta e da coordenada do ponto. A figura a seguir estabelece a condição gráfica da distância entre o ponto P e a reta r, sendo o segmento PQ a distância entre eles.

Estabelecendo a equação geral da reta s: ax₀ + by₀ + c = 0 e a coordenada do ponto P(x₀,y₀), conseguimos chegar à expressão capaz de calcular a distância entre o ponto P e a reta s:

Essa expressão surge de uma generalização feita, podendo ser utilizada nas situações em que envolve o cálculo da distância entre um ponto qualquer e uma reta.


Exemplo

Dado o ponto A(3, -6) e r: 4x + 6y + 2 = 0. Estabeleça a distância entre A e r utilizando a expressão dada anteriormente.

Temos que:
x: 3
y: -6
a: 4
b: 6
c: 2 

Creditos: Marcos Noé

Equação da Reta

Equação fundamental da reta

Podemos representar uma reta r do plano cartesiano por meio de uma equação. Essa equação pode ser obtida a partir de um ponto A(x_A, y_A) e do coeficiente angular m dessa reta.

Considere uma reta r não-vertical, de coeficiente angular m, que passa pelo ponto A(x_A, y_A). Vamos obter a equação dessa reta, tomando um ponto P(x, y) tal que P ≠ A.

A equação fundamenta da reta é:

Equação geral da reta

Toda reta r do plano cartesiano pode ser expressa por uma equação do tipo:

Em que:
• a, b, e c são números reais;
• a e b não são simultaneamente nulos.

Podemos obter a equação geral de uma reta r conhecendo dois pontos não coincidentes de r:

Para isso, usa-se a condição de alinhamento de A e B com um ponto genérico P(x,y) de r.

Equação reduzida da reta

Vamos determinar a equação da reta r que passa por Q(0,q), e tem coeficiente angular m = tg(α):

Toda equação na forma y = mx + q é chamada equação reduzida da reta, em que m é o coeficiente angular e q a ordenada do ponto n qual a reta cruza o eixo Oy. A equação reduzida pode ser obtida diretamente da equação geral ax + by + c = 0:

Onde:

Equação segmentária da reta

Considere uma reta r que cruza os eixos cartesianos nos pontos (0, q) e (p, 0).

Vamos escrever a equação da reta r:

Dividindo essa equação por pq, obtemos a equação segmentária da reta:

Coeficiente Angular da Reta

Sabemos que o valor do coeficiente angular de uma reta é a tangente do seu ângulo de inclinação. Através dessa informação podemos encontrar uma forma prática para obter o valor do coeficiente angular de uma reta sem precisar fazer uso do cálculo da tangente.

Vale ressaltar que se a reta for perpendicular ao eixo das abscissas, o coeficiente angular não existirá, pois não é possível determinar a tangente do ângulo de 90º.

Para representarmos uma reta não vertical em um plano cartesiano é preciso ter no mínimo dois pontos pertencentes a ela. Desse modo, considere uma reta s que passa pelos pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) e possui um ângulo de inclinação com o eixo Ox igual a α.




Prolongado a semirreta que passa pelo ponto A e é paralela ao eixo Ox formaremos um triângulo retângulo no ponto C.

O ângulo A do triângulo BCA será igual ao da inclinação da reta, pois, pelo Teorema de Tales, duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam ângulos correspondentes iguais.

Levando em consideração o triângulo BCA e que o coeficiente angular é igual à tangente do ângulo de inclinação, teremos:

tgα = cateto oposto / cateto adjacente

tgα = y_B – y_A / x_B – x_A 

Portanto, o cálculo do coeficiente angular de uma reta pode ser feito pela razão da diferença entre dois pontos pertencentes a ela.

m = tgα = Δy / Δx 

Exemplo 1
Qual é o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A (–1,3) e B (–2,4)?

m = Δy/Δx 

m = 4 - 3 / (-2) - (-1)
m = 1 / -1
m = -1

Exemplo 2
O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A (2,6) e B (4,14) é:

m = Δy/Δx 

m = 14 – 6/4 – 2
m = 8/2
m = 4

Exemplo 3 
O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A (8,1) e B (9,6) é:

m = Δy/Δx

m = 6 – 1/9 – 8
m = 5/1
m = 5

 Creditos: Marcos Noé

Alinhamento de três pontos

Com três pontos distintos e não alinhados formamos um plano, para que com eles seja formada uma reta é preciso que eles estejam alinhados. 
Considere os pontos A(1,2), B(3,0), C(4,-1). Colocando-os em um plano cartesiano percebemos que a união irá formar uma reta, ou seja, eles estão alinhados. 


Unir os três pontos distintos em um plano cartesiano é uma opção para verificar seu alinhamento, mas isso nem sempre apresenta uma resposta segura, pois um dos três pontos pode estar milímetros fora da reta formada, o que deixa os três pontos não alinhados. 

Considere três pontos distintos do plano cartesiano A(xa, ya), B(xb, yb) e C(xc, yc). Esses pontos estão alinhados se o determinante de suas coordenadas for igual a zero. Ou seja:

Exemplo 1. Verifique se os pontos A(5, 5), B(1, 3) e C(0, 5) estão alinhados.
Solução: devemos fazer o cálculo do determinante das coordenadas dos pontos A, B e C e verificar se o resultado é igual a zero.


Como o determinante das coordenadas dos pontos resultou em um valor diferente de zero, podemos concluir que os pontos A, B e C não estão alinhados.

Exemplo 2. Determine o valor de c para que os pontos A(4, 2), B(2, 3) e C(0, c) estejam alinhados.
Solução: para que os pontos A, B e C estejam alinhados, o determinante de suas coordenadas deve ser igual a zero. Assim, temos que:

Fazendo o cálculo do determinante obtemos:
12 + 0 + 2c – 4 – 4c – 0 = 0
ou
8 – 2c = 0
2c = 8
c = 4.

Exemplo 3. Para quais valores reais de k os pontos (6, k), (3, 4) e (2 – k, 2) são colineares?
Solução: dizer que os pontos são colineares é o mesmo que dizer que eles estão alinhados. Dessa forma, devemos fazer o cálculo do determinante e igualá-lo a zero.


Desenvolvendo o determinante, obtemos:
– k2 + 3k + 10 = 0
ou
k2 – 3k – 10 = 0
Resolvendo a equação acima, obtemos:
k = 5 ou k = – 2

Ponto Médio

Segmento de reta é limitado por dois pontos de uma reta. Por exemplo, considere a reta r e dois pontos A e B que pertencem a essa reta.



A distância dos pontos A e B é o segmento da reta r.

Por ser um “pedaço” de uma reta podemos medir o seu comprimento (distância entre dois pontos de uma reta), assim possuindo seu ponto médio (ponto que separa o segmento ao meio).

O segmento de reta possui inúmeros pontos alinhados, mas somente um deles irá dividir o segmento em duas partes iguais.

O segmento de reta AB terá um ponto médio (M) com as seguintes coordenadas (xM, yM). Observe que os triângulos AMN e ABP são semelhantes, possuindo os três ângulos respectivamente iguais. Dessa forma, podemos aplicar a seguinte relação entre os segmentos que formam os triângulos. Veja:

considerando M o ponto médio do segmento AB, temos a seguinte expressão matemática capaz de determinar a coordenada do ponto médio de qualquer segmento no plano cartesiano:

Percebemos que o cálculo da abscissa xM é a média aritmética entre as abscissas dos pontos A e B. Assim, o cálculo da ordenada yM é a média aritmética entre as ordenadas dos pontos A e B. 

Exemplo 1

Dadas as coordenadas dos pontos A(4,6) e B(8,10) pertencentes ao segmento AB, determine as coordenadas do ponto médio desse segmento.

xA = 4
yA = 6
xB = 8
yB = 10

xM = (xA + xB) / 2
xM = (4 + 8) / 2
xM = 12/2
xM = 6

yM = (yA + yB) / 2
yM = (6 + 10) / 2
yM = 16 / 2
yM = 8

As coordenadas do ponto médio do segmento AB é xM (6, 8). 

Exemplo 2

Dados os pontos P(5,1) e Q(–2,–9), determine as coordenadas do ponto médio do segmento PQ.

xM = [5 + (–2)] / 2
xM = (5 – 2) / 2
xM = 3/2

yM = [1 + (–9)] / 2
yM = (1 – 9) / 2
yM = –8/2
yM = –4

Portanto, M(3/2, –4) é o ponto médio do segmento PQ.