Geometria Analitica 2 - 3m15

Angulo entre Duas Retas

Considere duas retas distintas e concorrentes do plano, r e s, ambas oblíquas aos eixos coordenados e não perpendiculares entre si. As duas retas formam um ângulo entre si, que denominaremos de α. Esse ângulo α é tal que:

Onde m_s e m_r são os coeficientes angulares das retas s e r, respectivamente. 
Se ocorrer de uma das retas ser vertical e a outra oblíqua, o ângulo α formado entre elas é tal que:

Exemplo 1. Determine o ângulo formado entre as retas r: x - y = 0 e s: 3x + 4y – 12 =0 

Solução: Para determinar o ângulo formado entre as duas retas, precisamos conhecer o coeficiente angular de cada uma delas. Assim, vamos determinar o coeficiente angular das retas r e s. 

Para a reta r, temos: 

x - y = 0 
y = x 

Portanto, m_r = 1. 
Para a reta s, temos:

Portanto, m_s = -3/4 
Conhecendo os valores dos coeficientes angulares, basta aplicar a fórmula do ângulo entre duas retas: 

Exemplo 2. Determine o ângulo formado entre as retas r: y = 3x + 4 e s: y = – 2x + 8. 

Solução: Vamos determinar o coeficiente angular de cada uma das retas dadas. 

Para a reta r, temos: 
y = 3x + 4 
m_r = 3 
Para a reta s, temos: 
y = – 2x + 8 
m_s = – 2 
Aplicando a fórmula do ângulo entre duas retas, obtemos: 

Creditos: Marcelo Rigonatto

Distancia entre Pontos na Reta

A Geometria Analítica objetiva seus estudos através da conciliação entre a Álgebra e a Geometria. Dessa forma, algumas situações podem ser analisadas metodicamente, através da interpretação geométrica e das relações algébricas.
Uma dessas importantes relações da Geometria Analítica é a distância entre um ponto e uma reta no plano cartesiano.

A distância entre um ponto e uma reta é calculada unindo o próprio ponto à reta através de um segmento, que deverá formar com a reta um ângulo reto (90º). Para estabelecer a distância entre os dois necessitamos da equação geral da reta e da coordenada do ponto. A figura a seguir estabelece a condição gráfica da distância entre o ponto P e a reta r, sendo o segmento PQ a distância entre eles.

Estabelecendo a equação geral da reta s: ax₀ + by₀ + c = 0 e a coordenada do ponto P(x₀,y₀), conseguimos chegar à expressão capaz de calcular a distância entre o ponto P e a reta s:

Essa expressão surge de uma generalização feita, podendo ser utilizada nas situações em que envolve o cálculo da distância entre um ponto qualquer e uma reta.


Exemplo

Dado o ponto A(3, -6) e r: 4x + 6y + 2 = 0. Estabeleça a distância entre A e r utilizando a expressão dada anteriormente.

Temos que:
x: 3
y: -6
a: 4
b: 6
c: 2 

Creditos: Marcos Noé

Equação da Reta

Equação fundamental da reta

Podemos representar uma reta r do plano cartesiano por meio de uma equação. Essa equação pode ser obtida a partir de um ponto A(x_A, y_A) e do coeficiente angular m dessa reta.

Considere uma reta r não-vertical, de coeficiente angular m, que passa pelo ponto A(x_A, y_A). Vamos obter a equação dessa reta, tomando um ponto P(x, y) tal que P ≠ A.

A equação fundamenta da reta é:

Equação geral da reta

Toda reta r do plano cartesiano pode ser expressa por uma equação do tipo:

Em que:
• a, b, e c são números reais;
• a e b não são simultaneamente nulos.

Podemos obter a equação geral de uma reta r conhecendo dois pontos não coincidentes de r:

Para isso, usa-se a condição de alinhamento de A e B com um ponto genérico P(x,y) de r.

Equação reduzida da reta

Vamos determinar a equação da reta r que passa por Q(0,q), e tem coeficiente angular m = tg(α):

Toda equação na forma y = mx + q é chamada equação reduzida da reta, em que m é o coeficiente angular e q a ordenada do ponto n qual a reta cruza o eixo Oy. A equação reduzida pode ser obtida diretamente da equação geral ax + by + c = 0:

Onde:

Equação segmentária da reta

Considere uma reta r que cruza os eixos cartesianos nos pontos (0, q) e (p, 0).

Vamos escrever a equação da reta r:

Dividindo essa equação por pq, obtemos a equação segmentária da reta:

Coeficiente Angular da Reta

Sabemos que o valor do coeficiente angular de uma reta é a tangente do seu ângulo de inclinação. Através dessa informação podemos encontrar uma forma prática para obter o valor do coeficiente angular de uma reta sem precisar fazer uso do cálculo da tangente.

Vale ressaltar que se a reta for perpendicular ao eixo das abscissas, o coeficiente angular não existirá, pois não é possível determinar a tangente do ângulo de 90º.

Para representarmos uma reta não vertical em um plano cartesiano é preciso ter no mínimo dois pontos pertencentes a ela. Desse modo, considere uma reta s que passa pelos pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) e possui um ângulo de inclinação com o eixo Ox igual a α.




Prolongado a semirreta que passa pelo ponto A e é paralela ao eixo Ox formaremos um triângulo retângulo no ponto C.

O ângulo A do triângulo BCA será igual ao da inclinação da reta, pois, pelo Teorema de Tales, duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam ângulos correspondentes iguais.

Levando em consideração o triângulo BCA e que o coeficiente angular é igual à tangente do ângulo de inclinação, teremos:

tgα = cateto oposto / cateto adjacente

tgα = y_B – y_A / x_B – x_A 

Portanto, o cálculo do coeficiente angular de uma reta pode ser feito pela razão da diferença entre dois pontos pertencentes a ela.

m = tgα = Δy / Δx 

Exemplo 1
Qual é o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A (–1,3) e B (–2,4)?

m = Δy/Δx 

m = 4 - 3 / (-2) - (-1)
m = 1 / -1
m = -1

Exemplo 2
O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A (2,6) e B (4,14) é:

m = Δy/Δx 

m = 14 – 6/4 – 2
m = 8/2
m = 4

Exemplo 3 
O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A (8,1) e B (9,6) é:

m = Δy/Δx

m = 6 – 1/9 – 8
m = 5/1
m = 5

 Creditos: Marcos Noé

Alinhamento de três pontos

Com três pontos distintos e não alinhados formamos um plano, para que com eles seja formada uma reta é preciso que eles estejam alinhados. 
Considere os pontos A(1,2), B(3,0), C(4,-1). Colocando-os em um plano cartesiano percebemos que a união irá formar uma reta, ou seja, eles estão alinhados. 


Unir os três pontos distintos em um plano cartesiano é uma opção para verificar seu alinhamento, mas isso nem sempre apresenta uma resposta segura, pois um dos três pontos pode estar milímetros fora da reta formada, o que deixa os três pontos não alinhados. 

Considere três pontos distintos do plano cartesiano A(xa, ya), B(xb, yb) e C(xc, yc). Esses pontos estão alinhados se o determinante de suas coordenadas for igual a zero. Ou seja:

Exemplo 1. Verifique se os pontos A(5, 5), B(1, 3) e C(0, 5) estão alinhados.
Solução: devemos fazer o cálculo do determinante das coordenadas dos pontos A, B e C e verificar se o resultado é igual a zero.


Como o determinante das coordenadas dos pontos resultou em um valor diferente de zero, podemos concluir que os pontos A, B e C não estão alinhados.

Exemplo 2. Determine o valor de c para que os pontos A(4, 2), B(2, 3) e C(0, c) estejam alinhados.
Solução: para que os pontos A, B e C estejam alinhados, o determinante de suas coordenadas deve ser igual a zero. Assim, temos que:

Fazendo o cálculo do determinante obtemos:
12 + 0 + 2c – 4 – 4c – 0 = 0
ou
8 – 2c = 0
2c = 8
c = 4.

Exemplo 3. Para quais valores reais de k os pontos (6, k), (3, 4) e (2 – k, 2) são colineares?
Solução: dizer que os pontos são colineares é o mesmo que dizer que eles estão alinhados. Dessa forma, devemos fazer o cálculo do determinante e igualá-lo a zero.


Desenvolvendo o determinante, obtemos:
– k2 + 3k + 10 = 0
ou
k2 – 3k – 10 = 0
Resolvendo a equação acima, obtemos:
k = 5 ou k = – 2

Ponto Médio

Segmento de reta é limitado por dois pontos de uma reta. Por exemplo, considere a reta r e dois pontos A e B que pertencem a essa reta.



A distância dos pontos A e B é o segmento da reta r.

Por ser um “pedaço” de uma reta podemos medir o seu comprimento (distância entre dois pontos de uma reta), assim possuindo seu ponto médio (ponto que separa o segmento ao meio).

O segmento de reta possui inúmeros pontos alinhados, mas somente um deles irá dividir o segmento em duas partes iguais.

O segmento de reta AB terá um ponto médio (M) com as seguintes coordenadas (xM, yM). Observe que os triângulos AMN e ABP são semelhantes, possuindo os três ângulos respectivamente iguais. Dessa forma, podemos aplicar a seguinte relação entre os segmentos que formam os triângulos. Veja:

considerando M o ponto médio do segmento AB, temos a seguinte expressão matemática capaz de determinar a coordenada do ponto médio de qualquer segmento no plano cartesiano:

Percebemos que o cálculo da abscissa xM é a média aritmética entre as abscissas dos pontos A e B. Assim, o cálculo da ordenada yM é a média aritmética entre as ordenadas dos pontos A e B. 

Exemplo 1

Dadas as coordenadas dos pontos A(4,6) e B(8,10) pertencentes ao segmento AB, determine as coordenadas do ponto médio desse segmento.

xA = 4
yA = 6
xB = 8
yB = 10

xM = (xA + xB) / 2
xM = (4 + 8) / 2
xM = 12/2
xM = 6

yM = (yA + yB) / 2
yM = (6 + 10) / 2
yM = 16 / 2
yM = 8

As coordenadas do ponto médio do segmento AB é xM (6, 8). 

Exemplo 2

Dados os pontos P(5,1) e Q(–2,–9), determine as coordenadas do ponto médio do segmento PQ.

xM = [5 + (–2)] / 2
xM = (5 – 2) / 2
xM = 3/2

yM = [1 + (–9)] / 2
yM = (1 – 9) / 2
yM = –8/2
yM = –4

Portanto, M(3/2, –4) é o ponto médio do segmento PQ. 

Aula Estatistica - Terceirão

Geometria Analítica

A geometria analítica foi um estudo realizado pelo matemático René Descartes que aliou os conhecimentos da álgebra ao estudo das figuras geométricas. No entanto, antigamente a geometria analítica era conhecida como Geometria de coordenadas e geometria cartesiana, pois com a aplicação da álgebra na geometria é possível fazer qualquer representação geométrica por meio de pares ordenados, equações e inequações. 

SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL

Se duas retas se cruzam e formam um ângulo de 90º elas são perpendiculares. A perpendicularidade dessas duas retas forma um sistema cartesiano ortogonal. 

As duas retas são chamadas de eixos: 
Eixo das abscissas: reta x. 
Eixo das coordenadas: reta y. 

Onde as retas x e y se encontram é formado um ponto, que é chamado de ponto de origem. 



O sistema cartesiano ortogonal é dividido em quatro partes e cada uma é um quadrante. 



Um ponto no sistema cartesiano ortogonal é formado por dois pontos, um do eixo das abscissas e outro do eixo das ordenadas. 
O ponto no sistema cartesiano ortogonal é chamado de par ordenado. 



O ponto X possui um número x que é a abscissa do ponto P. 
O ponto Y possui um número y que é a ordenada do ponto P. 
(x, y) é chamado de par ordenado do ponto P. 

Portanto, para determinarmos um ponto P no sistema cartesiano ortogonal é preciso que as abscissas e as ordenadas sejam dadas. 

Veja o sistema cartesiano ortogonal abaixo e os pontos que estão indicados. 



O ponto A (1, 1) encontra-se no 1° quadrante. 
O ponto B (3, 0) encontra-se no eixo das abscissas x. 
O ponto C (5, -4) encontra-se no 4º quadrante. 
O ponto D (-3, -3) encontra-se no 3º quadrante. 
O ponto E (0, 4) encontra-se no eixo das ordenadas 
O ponto F (4, 3) encontra-se no 1º quadrante. 
O ponto G (-2, 3) encontra-se no 2° quadrante.



DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

A distância entre dois pontos é determinada pela Geometria Analítica, responsável por estabelecer relações entre fundamentos geométricos e algébricos. As relações são intituladas com base num sistema de coordenadas cartesianas, que é constituído de dois eixos perpendiculares enumerados.

No plano cartesiano, qualquer ponto possui uma coordenada de localização, basta identificar o ponto e observar os valores primeiramente em relação ao eixo horizontal x (abscissa) e posteriormente em relação ao eixo vertical y (ordenada).

Nesse sistema de coordenadas podemos demarcar dois pontos e determinar a distância entre eles. Observe:

Observe que o triângulo formado é retângulo de catetos AC e BC e hipotenusa AB. Se aplicarmos o Teorema de Pitágoras nesse triângulo determinando a medida da hipotenusa estaremos também calculando a distância entre os pontos A e B. Vamos aplicar as propriedades da relação de Pitágoras no triângulo ABC, originando a expressão matemática responsável pela determinação da distância entre dois pontos em função de suas coordenadas.

O Teorema de Pitágoras diz: “A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”. No triângulo ABC temos que:

Cateto AC = x₂ – x₁
Cateto BC = y₂ – y₁

Exemplo 1

Qual a distância entre os pontos P(3, –3) e Q(–6, 2)?

A distância entre os pontos P e Q é igual a √106 unidades.

COORDENADA DO PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO DE RETA

O segmento de reta possui inúmeros pontos alinhados, mas somente um deles irá dividir o segmento em duas partes iguais. A identificação e a determinação do ponto médio de um segmento de reta será demonstrado com base na ilustração a seguir.

O segmento de reta AB terá um ponto médio (M) com as seguintes coordenadas (xM, yM). Observe que os triângulos AMN e ABP são semelhantes, possuindo os três ângulos respectivamente iguais. Dessa forma, podemos aplicar a seguinte relação entre os segmentos que formam os triângulos. Veja:

Podemos concluir que AB = 2 * (AM), considerando que M é o ponto médio do segmento AB. Temos:

x_P – x_A = 2*(x_M – x_A)
x_B – x_A = 2*(x_M – x_A)
x_B – x_A = 2x_M – 2x_A
2x_M = x_B – x_A + 2x_A
2x_M = x_A + x_B
x_M = (x_A + x_B)/2

Utilizando método análogo, conseguimos demonstrar que y_M = (y_A + y_B )/2.

Portanto, considerando M o ponto médio do segmento AB, temos a seguinte expressão matemática capaz de determinar a coordenada do ponto médio de qualquer segmento no plano cartesiano:

Percebemos que o cálculo da abscissa xM é a média aritmética entre as abscissas dos pontos A e B. Assim, o cálculo da ordenada yM é a média aritmética entre as ordenadas dos pontos A e B. 

CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS.

Com três pontos distintos e não alinhados formamos um plano, para que com eles seja formada uma reta é preciso que eles estejam alinhados. 

Considere os pontos A(1,2), B(3,0), C(4,-1). Colocando-os em um plano cartesiano percebemos que a união irá formar uma reta, ou seja, eles estão alinhados. 



Unir os três pontos distintos em um plano cartesiano é uma opção para verificar seu alinhamento, mas isso nem sempre apresenta uma resposta segura, pois um dos três pontos pode estar milímetros fora da reta formada, o que deixa os três pontos não alinhados. 

Por esse motivo, ao verificar se os três pontos são alinhados, é preciso seguir a seguinte condição: 

Os pontos A, B e C pertencem à reta formada acima e o ponto B é comum aos segmentos AB e BC, nesse caso podemos aplicar a seguinte propriedade: Duas retas paralelas que possuem um ponto em comum são coincidentes. 

Unindo essa propriedade com o cálculo dos coeficientes, iremos concluir que os pontos A, B e C serão paralelos se o coeficientes dos dois segmentos mAB e mBC forem iguais. 

m_AB = 0 – 2 = - 2 = - 1 
            4 – 3       2 

M_BC = -1 – 0 = -1 = - 1 
             4 – 3      1 

Como m_AB = m_BC podemos dizer que os três (A, B e C) pontos estão alinhados. 

Analisando esse exemplo chegamos à seguinte condição de alinhamento de três pontos: 

Dado três pontos distintos A (xA, yB), B (xB,yB) e C (xC, yC), eles serão alinhados se, somente se, os coeficientes mAB e mBC forem iguais.

INCLINAÇÃO DE UMA RETA E O SEU COEFICIENTE ANGULAR

Determinamos uma reta no plano cartesiano conhecendo dois pontos distintos, mas também é possível ser determinada conhecendo apenas um ponto e um ângulo, pois uma reta s intercepta o eixo Ox em um ponto M formando um ângulo α. 

O ângulo α é formado pela reta r e por um ponto do eixo Ox localizado à direita do ponto M. A sua medida irá variar entre 0°≤ α < 180°. 



Esse ângulo é a inclinação da reta e a sua tangente é o valor do seu coeficiente angular. Sendo que só será possível encontrar o seu coeficiente angular quando a reta não for vertical, ou seja, o valor de α deverá ser diferente de zero. 

Exemplo 1: 



Inclinação da reta s igual a 60º. 
Coeficiente angular igual a m = tg 60° = √3. 

Exemplo 2: 



Inclinação da reta s igual a 0°, pois é paralela ao eixo Ox. 
Coeficiente angular igual a m = tg0º = 0. 


Inclinação da reta é igual a 90°. 
Não terá como encontrar o valor do coeficiente angular da reta s quando a inclinação for igual a 90°, pois não é possível encontrar o valor da tangente de 90°.

Créditos : Marcos Noé, Danielle de Miranda.

Variância (V) e Desvio Padrão (DP)

A variância tem o objetivo de analisar o grau de variabilidade de determinadas situações, através dela podemos perceber desempenhos iguais, muito próximos ou muito distantes. A média aritmética pode ser usada para avaliar situações de forma geral, já a variância determina de forma mais específica as possíveis variações, no intuito de não comprometer os resultados da análise. Vamos, através de um exemplo, determinar a eficiência da variância.

Observe as notas de três competidores em uma prova de manobras radicais com skates. 

Competidor A: 7,0 – 5,0 – 3,0

Competidor B: 5,0 – 4,0 – 6,0

Competidor C: 4,0 – 4,0 – 7,0 
Ao calcular a média das notas dos três competidores iremos obter média cinco para todos, impossibilitando a nossa análise sobre a regularidade dos competidores. 
Partindo dessa ideia, precisamos adotar uma medida que apresente a variação dessas notas no intuito de não comprometer a análise.
Observe os cálculos: 

Competidor A 

VA = (7-5)² + (5-5)² + (3-5)² = 4+0+4 = 2,667
                         3                            3                 


Competidor B 

VB = (5-5)² + (4-5)² + (6-5)² = 0+1+1 = 0,667
                           3                          3                 


Competidor C 

VC = (4-5)² + (4-5)² + (7-5)² = 1+1+4 = 2
                           3                          3          

Desvio Padrão

É calculado extraindo a raiz quadrada da variância. 

Competidor A
 
√2,667 = 1,633 

Competidor B
 
√ 0,667 = 0,817 

Competidor C
 
√2 = 1,414 

Tabelas de Frequências

A frequência absoluta, ou apenas frequência, de um valor é o número de vezes que uma determinada variável assume esse valor. Ao conjunto das frequências dos diferentes valores da variável dá-se o nome de distribuição da frequência (ou apenas distribuição).
A frequência relativa, é a percentagem relativa à frequência.
A frequência acumulada de um valor, é o numero de vezes que uma variável assume um valor inferior ou igual a esse valor.
A frequência relativa acumulada, é a percentagem relativa à frequência acumulada.
A tabela de frequências é uma forma de representação da frequência de cada valor distinto da variável. Juntamente com as frequências, esta poderá incluir frequências relativas, frequências acumuladas e frequências relativas acumuladas.
Consideremos a seguinte tabela
 

Nome	Sexo	Nome	Sexo
Manuela	F	Giovane	M
Manuel	M	Pietro	M
Carol	F	Cristal	F
Marilia	F	Sonia	F
Jonas	M	Sueide	F

  

Temos:

          Sexo Masculino:

Frequência absoluta : (a quantidade de homens) = 4
Frequência relativa: ( a quantidade de homens multiplicado pelo total de pessoas) = 4 em 10 = 40%

Sexo Feminino: 

Frequência absoluta : (a quantidade de mulheres) = 6 

Frequência relativa: (a quantidade de mulheres pelo total de pessoas) =  6 em 10 = 60%

 Assim a tabela de frequências da variável Sexo será: 

variável	freq. absoluta (n)	freq. relativa (%)
Sexo
M	4	40%
F	6	60%
Total	10	100%

Mediana (Me)

A mediana é outra medida de tendencia central. Assim, dados n numeros em ordem crescente ou decrescente,  mediana será:
• o número que ocupar a posição central se n foi ímpar;
• a mediana aritmética dos dois números que estiverem no centro se n for par.

Exemplo :

Para a seguinte população:

     {1, 3, 6, 7, 9} 

como temos 5 números e 5 é impar o termo médio é o 3° termo.

Logo Me = 6

Na seguinte população:

     {1, 2, 4, 8, 9, 10}

Temos 6 números e 6 é par então vamos pegar o numero 4 e o 8 que são os termos do meio vamos soma-los e dividir por dois o resultado será a nossa mediana.

4+8   = 12 = 6   -> Me = 6 
2         2

Moda (MO)

Moda é  mediana de tendência central definida como o valor mais frequente de um grupo de valores observados e pode ser classificada em :
   • Bimodal: possui dois valores modais.
   • Amodal: não possui moda.
   • Multimodal: possui mais do que dois valores modais.

Exemplo :

A moda de {maçã, banana, laranja, laranja, laranja, pêssego} é laranja.

A série {1, 3, 5, 5, 6, 6} apresenta duas modas (BIMODAL): 5 e 6.

A série {1, 3, 2, 5, 8, 7, 9} não apresenta moda (AMODAL).

A série {1, 3, 5, 5, 6, 6, 7, 7} apresenta mais do que duas modas (MULTIMODAL): 5, 6 e 7

Deve-se observar que aquilo que se expressa como "maioria" num determinado conjunto de dados é a moda

Exercício Proposto em Sala de Aula

1    1.    Calcule a média das idades de um determinado grupo de pessoas, sabendo que as idades dessas pessoas são: 18, 19, 20, 32, 40, 25, 24, 19, 18, 22, 25, 26, 32, 36, 41, 40, 28, 36, 22, 41.

Resolução:
Primeiro vamos somar todos os números e dividir pela quantidade de números que tem.

MA = 18+19+20+32+40+25+24+19+18+22+25+26+32+36+41+40+28+36+22+41

                                                                           20

Agora vamos somar os números dividir por 20 e iremos achar o resultado.

MA  =   564   =   28,2

             20   

2.   Dada a tabela de freqüência abaixo, determine a média das idades:

IDADE	FA
18	5
19	3
20	4
21	8
22	9
30	6
36	2
38	4
40	5
41	4
TOTAL	50

Primeiro iremos multiplicar a IDADE pelo seu FA , depois vamos somar todos os resultados e o resultado final dessa soma vamos dividir pelo TOTAL ( soma dos FA ).

MA =   20.4+21.8+22.9+30.6+36.2+38.4+40.5+41.4   =
                                              50  

MA =    90+57+80+168+198+180+72+152+200+164  =
                                        50   

MA = 1361  =  27,22
           50

3.  Dada a tabela de freqüência abaixo, determine a média das alturas:

ALTURA (cm)	FA
1,44 |--- 1,50	2
1,50 |--- 1,56	6
1,56 |--- 1,62	4
1,62 |--- 1,68	12
1,68 |--- 1,74	15
1,74 |--- 1,80	8
1,80 |--- 1,86	3

Antes de acharmos a media precisamos achar o termo central das alturas pegando a menor altura somando com a maior e dividindo por 2, por exemplo:

1,44 +1,50 /2 = 1,47

E faremos assim sucessivamente

ALTURA (cm)	FA
1,44 |-1,47-- 1,50	2
1,50 |-1,53-- 1,56	6
1,56 |-1,59-- 1,62	4
1,62 |-1,65-- 1,68	12
1,68 |-1,71-- 1,74	15
1,74 |-1,77-- 1,80	8
1,80 |-1,83-- 1,86	3

TOTAL

50

Feito isso vamos multiplicar o TERMO CENTRAL de cada um pelo seu FA e dividimos pelo TOTAL ( soma do FA )

MA= 1,47.2+1,53.6+1,59.4+1,65.12+1,71.15+1,77.8+1,83.3 =
                                               50

MA = 83,58   =  1,6716
           50